Вычисление определенного интеграла

Инженерная графика и машиностроительное черчение

В машиностроении широко применяются шпоночные и зубчатые (шлицевые) соединения. Служат они, как правило, для передачи крутящих моментов. Например, с вала на зубчатое колесо или наоборот. В шпоночных соединениях передача производится посредством промежуточной детали (шпонки), работающей на срез. В шлицевых - посредством зубьев, выполненных заодно с валом (образуя как бы много шпонок), равномерно расположенных на валу и сопрягаемых с ответными зубьями, выполненными в отверстии, например, зубчатого колеса. Зубья (шлицы), работая на срез, способны передавать большие крутящие моменты от двигателей.

Поверхностные интегралы 2 рода.

Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла. Входящий и выходящий потоки дают взаимоисключающий результат и поэтому их надо различать. Различать их можно по знаку cos, где  - угол между нормальным вектором внешней стороны замкнутой поверхности и направляющим вектором потока. Для выходящего

потока  - острый угол и cos>0 , для входящего потока   - тупой угол и cos<0 . Для описания потоков используют специальные поверхностные интегралы, которые учитывают направление потоков через поверхность. Линейная модель торговли Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты п стран, которые мы обозначим соответственно x1, x2, … , xn расходуются на покупку товаров. Мы будем рассматривать линейную модель обмена, или, как ее еще называют, модель международной торговли.

Опр. Поверхностным интегралом 2-ого рода для функции f(x,y,z) по двухсторонней ориентированной поверхности G наз. конечный предел интегральной суммы, полученной путем разбиения G на малые участки и проектирования их сразу на координатные плоскости

J =  =  ( 10 )

Множитель  означает, что вклады от разных участков G берутся с разными знаками.

Так как элемент поверхности dS и его проекция пропорциональны dxdy = cosdS, то от интеграла 2 рода легко перейти к интегралу 1 рода

 =  ( 11 )

в который входит cos . Знак cos  для элемента поверхности  и определит знак вклада этого элемента в интегральную сумму ( 10 ). Появление членов с разными знаками происходит только при рассмотрении цилиндрических и замкнутых поверхностей.

При проектировании  G на плоскости xOz, yOz получаем аналогичные интегралы и строим обобщенный поверхностный интеграл 2 рода с учетом трех различных функций

 =

=  ( 12 )

который распространяется на определенную заранее сторону двухсторонней поверхности

Если G задана явным уравнением  z = z(x,y) и точки (х,у) образуют замкнутую область D , где сама функция и ее производные ,  непрерывны, то все члены интегральной суммы ( 10 ) имеют одинаковый знак и вычисление интеграла ( 11 ) сводится к вычислению обычного двойного интеграла

 J =  =  ( 13 )

Замена z на z(x,y) дает переход к значениям функции на самой поверхности.

Необходимо только заранее определить острый или тупой угол с осью Oz образуют нормальные вектора выбранной стороны поверхности. Если угол тупой, то у интеграла меняют знак. Если поверхность G замкнута, то она разделяется на несколько кусочно- ориентированных поверхностей.

Пр. Вычислить интеграл , где G – внешняя сторона куба, составленного плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1, z = 1.

Решение: J = J1(z=0) + J2(y=0) + J3(x=0) + J4(z=1) + J5(y=1) + J6(x=1).

G1: z = 0dz = 0,1Oz=>/2(-), J1 =(-)(0+0+) =0. Аналогично J2 = J3 = 0 . G4 : z = 1 dz = 0, 4 Oz = 0 </2(+), G4 : J4 = (+)(0 + 0 +) = 1 – площадь единичного квадрата. Аналогично J5 = J6 = 1 . Окончательно J = 3 .

Радикальный признак Коши.

 Дан ряд ,если , то при

 а)   - ряд -сходится;

 б)   - ряд - расходится;

 в)  - о сходимости ничего нельзя сказать, предполагается что предел  

 Доказательство:

По условию теоремы, , начиная с  будет выполняться условие  

а) - убывающая геометрическая прогрессия Þ по признаку сравнения - сходится, начиная с .

б) аналогично предыдущему.

Так как поверхностные интегралы 1 и 2 рода сводятся к обычным двойным интегралам, то различные задачи, которые приводят к вычислению двойных интегралов, могут быть представлены через поверхностные интегралы.

Общий принцип интегрального исчисления : формулы Грина, Стокса, Остроградского – Гаусса, Ньютона – Лейбница позволяют интегралы по некоторой пространственной области заменить на интегралы взятые по границам этой области.

Скалярное поле и его характеристики. Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M).

Градиент скалярного поля. Структура выражения ( 21 ) совпадает со структурой скалярного произведения двух векторов  и  :  = axbx + ayby + azbz , если величины *U/x, *U/y, *U/z понимать как координаты некоторого вектора.

Общие геометрические характеристики векторных полей. Опр. Векторными линиями поля наз. кривые, касательные к которым в каждой точке М совпадают с (M).

Если поток жидкости проходит через замкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.

Ротор ( вихрь) векторного поля. Опр. Циркуляцией векторного поля. (M) = {P, Q, R} вдоль замкнутой кривой L наз. криволинейный интеграл от скалярного произведения вектора поля и дифференциала радиус-вектора перемещающегося вдоль криво.

Простейшие векторные поля. а) Трубчатое или соленоидальное векторное поле, если div = 0 .

Обычный определенный интеграл есть частный случай криволинейного интеграла, когда в качестве L берется отрезок оси Ох. Поэтому свойства интегралов аналогичны.

Наименование каждого раздела указывают в виде заголовка в графе ''Наименование", подчеркивают тонкой линией и выделяют пустыми строками. В раздел "Документация" вносят документы, составляющие основной комплект конструкторских документов специфицируемого изделия, кроме его спецификации. Документы записывают в последовательности, указанной в ГОСТ 2.102-88, например: Сборочный чертеж "СБ", чертеж общего вида "ВО", монтажный чертеж "МС", технологическая схема "ТС", пояснительная записка "ПЗ" и т.д. В разделы "Комплексы", "Сборочные единицы". "Детали" вносят комплексы, сборочные единицы и детали, непосредственно входящие в специфицируемое изделие. Сборочными единицами в данном случае могут быть сварные соединения, армированные детали и т.д.


[an error occurred while processing this directive]