Вычисление определенного интеграла

Инженерная графика и машиностроительное черчение

Классификация сварных соединений

По способу осуществления механизма сварки различают сварку

-ручную;

-полуавтоматическую сварку под флюсом (П);

-автоматическую под флюсом (Аф);

Ряды.Числовые ряды.

Сложную функцию f(x) часто представляют как линейную комбинацию нескольких простых функций f(x) @ Pn(x). Это упрощает ее исследование. Чем больше простейших функций используется в Pn(x) , тем точнее приближение. При бесконечном росте числа слагаемых (n ® ¥) графики f(x) и ее апраксимации Pn(x)  могут совпасть полностью.

Задачу нахождения аппраксимирующих функций решает теория рядов.

Опр. Бесконечной числовой последовательностью наз. последовательность значений функции f(x) (определенной на всей числовой оси) при целочисленных значениях аргумента. Обозначения: un = f(n) , где n = 1, 2, 3, . . . или u1, u2, u3, . . . , un, . . . 

Пр. Если f(x) = 2x, то имеем 2,4,8, . . . , если f(x) = 1/2x, то имеем ½ ,1/4, 1/8, 1/16, . . .

Опр. Пределом числовой последовательности  un наз. число А, такое, что разность между ним и un при n ® ¥ делается бесконечно малой величиной

lim (un – A) = 0 или lim un = A при n ® ¥ Свойства дифференцируемой ФНП в точке: теорема о непрерывности дифференцируемой функции и теорема о необходимом условии дифференцируемой функции (2 теоремы – доказать), теорема о достаточном условии дифференцируемости функции и следствие

Опр. Числовая последовательность наз. сходящейся если имеет конечный предел и расходящейся , если предел бесконечен.

Опр. Числовым рядом наз.сумма членов бесконечной числовой последовательности

u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . =  ( 1 )

Непосредственно просуммировать ряд нельзя, т.к. число слагаемых бесконечно. Приходится вводить специальную процедуру.

Опр.  Частичной суммой ряда Sn наз. сумма ее первых n членов. Sn =  

Частичные суммы ряда ( 1 ) образуют вспомогательную числовую последовательность

S1, S2, S3, . . . , Sn, . . . , где Sn = Sn – 1 + un , которая может сходится или расходится.

Опр. Суммой числового ряда ( 1 ) наз. предел последовательности частичных сумм ряда S = lim Sn при n ® ¥ ( 2 )

Ряд наз. сходящимся, если предел ( 2 ) конечен и расходящимся, если бесконечен.

Пр. Геометрическая прогрессия: a + aq + aq2 + aq3 + . . . Её частичную сумму Sn = аумножим на (1 –q). Тогда (1–q)а= a(1 –qn) или Sn = a(1 –qn)/(1– q). При |q| < 1 Sn имеет конечный предел: S = aq/(1 – q), а при |q| > 1  бесконечный.

 Т.о., этот ряд при |q| < 1 сходится, а при |q| > 1  расходится.

 Пр. Гармонический ряд 1 + ½ + 1/3 + ¼ + . . . расходится (ниже докажем).

Основные свойства сходящихся рядов.

10  Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ряда.

Док-во.  Имеем  и. Пусть , тогда

lim Sn = lim(Sk + sn – k) = Sk + lim sn – k при n ® ¥

Если существует конечный предел слева, то существует предел и справа, т.е. укороченный ряд тоже сходится.

20 Если все члены ряда имеют общий множитель, то он является общим множителем для всего ряда  = с = с S . Это свойство пределов.

30 Почленное сложение двух рядов приводит к сложению их сумм. (Это свойство пределов)  = + = S1 + S2

Необходимый признак сходимости.

Если числовой ряд ( 1 ) сходится, то общий член ряда un стремится к нулю с ростом n

lim un = lim (Sn – Sn – 1) = S – S = 0 при n ® ¥ 

Если lim un ¹ 0 при n ® ¥ , то ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов. 1.) Признак сравнения 1. Пусть для членов рядов (а) и (b) выполняется неравенство  0 £ un £ vn , тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда  (a) и из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b).

Знакопеременные числовые ряды. Опр. Знакопеременным наз. ч исловой ряд составленный из положительных и отрицательных членов.

Радиус сходимости. Из теоремы Абеля следует, что должно существовать такое граничное значение x =R ниже которого ряд ( 6 ) сходится, а выше расходится.

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Алгоритм разложения: 1) Составляем для функции f(x) ряд Тейлора ;

Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. Вычисление значений функций.

Вопрос : существует ли простая связь между суммой ряда ( 19 ) S(x) и коэффициентами разложения an , bn ? Ответ : да, т.к. cos nx , sin nx образуют систему ортогональных функций.

Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Лемма. Интеграл от функции f(x) на симметричном интервале [-a, a] равен 0 для нечетной функции и для четной функции равен удвоенному значению интеграла по половине промежутка.

Изображение швов Условно видимые швы сварных соединений изображают основной сплошной толстой линией, невидимые - штриховой линией, видимую одиночную сварную точку - знаком 4- (размеры пересекающихся отрезков 5...10 мм). Невидимые точки не изображают. Для обозначения сварки от изображения шва проводят линию-выноску, заканчивающуюся односторонней стрелкой


[an error occurred while processing this directive]