Вычисление определенного интеграла

Инженерная графика и машиностроительное черчение

В машиностроении широко применяются шпоночные и зубчатые (шлицевые) соединения. Служат они, как правило, для передачи крутящих моментов. Например, с вала на зубчатое колесо или наоборот. В шпоночных соединениях передача производится посредством промежуточной детали (шпонки), работающей на срез. В шлицевых - посредством зубьев, выполненных заодно с валом (образуя как бы много шпонок), равномерно расположенных на валу и сопрягаемых с ответными зубьями, выполненными в отверстии, например, зубчатого колеса. Зубья (шлицы), работая на срез, способны передавать большие крутящие моменты от двигателей.

Приложения определенного интеграла. Как известно, криволинейной трапецией, соответствующей неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x), называется область, ограниченная графиком функции y=f(x), осью OX и двумя вертикальными прямыми x=a, x=b. Коротко это можно записать так:  (см. рис.3). Линейная алгебра и аналитическая геометрия Сложная функция. Правила дифференцирования функции.

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что площадь такой криволинейной трапеции вычисляется по формуле

  (5.7)

Если область на плоскости имеет вид  (см. рис.4), причем от обеих функций требуется только непрерывность, то справедлива формула

 . (5.8)

Найти ряд Маклорена для функции .

 

Рис. 3 Рис. 4

Пример 5.7. Найти площадь области, ограниченной: 

а) осью ОХ и линиями ;

б) графиками функций .

Решение. Предварительно необходимо построить соответствующие графики и определить область, площадь которой нужно найти. Для случая а) это сделано на рис.5. Очевидно, что заштрихованная область представляется в виде объединения двух криволинейных трапеций:  и . Здесь  – абсцисса точки пересечения графиков функций . Нужное значение найдем, решая соответствующую систему уравнений:

Таким образом, выбираем решение  (с учетом того, что ). Площади криволинейных трапеций  и  находим по формуле (5.7), а затем суммируем, чтобы получить область всей интересующей нас области:

  .

В случае б) графики и область, площадь которой надо найти, изображены на рис.6. Очевидно, что мы имеем дело с объединением двух областей. При этом  (эта криволинейная трапеция состоит из двух симметричных относительно оси OX частей, поэтому , где ) и . Как и выше,  и  - абсциссы точек пересечения графиков, которые находим, решая систему уравнений:

откуда  и . Для вычисления площади криволинейной трапеции   применяем формулу (5.7), для вычисления площади  - (5.8):

Окончательно имеем:

 

Рис. 5 Рис.6

Степенные ряды. Теорема Абеля (док.) (×)

 

Функциональные ряды вида  называются степенным рядом по степеням(z-z0), где a1 a2... an  R -коэффициенты степенного ряда , называются степенными рядами.

При z0=0 получим  .Степенной ряд при z=0 всегда сходится, если x не равен 0 то ряд может как сходиться так и расходиться. 

Поскольку замена (z-z0)=t может свести к виду то мы будем рассматривать ряд такого вида.

Т. Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точке z1≠0, то он сходится и при том абсолютно в точке z, у которого , если степенной ряд расходится в т. z2≠0, то он расходится в т z, .

Доказательство.

По условию - то по необходимому признаку сходимости ряда , т.к. сх-ся числ. послед. ограничена то существует M>0 |  а n=0,1,2… Если , то  и следовательно , являясь геометрической прогрессией со знаменателем <1, сходится. Поэтому по признаку сравнения сходится и ряд , а это означает абсолютную сходимость ряда (1) при .

Пусть числовой ряд расходится, => для любого z | . Предположим противное, те  сходится. По доказательству в 1 части теоремы из сходимости ч.р. => абсолютная сходимость ,для любого , а значит этот ряд должен сходиться абсолютно, что противоречит условию => он расходится.

Интегралы и их приложения Пример Найти: а) ; б) .

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида 10)- 16).

Векторный анализ. Поверхностные интегралы.  Теория поля.

Задача о массе поверхности. Пусть на гладкой поверхности z = z(x,y) распределена масса с поверхностной плотностью = f(x,y,z).

Наименование каждого раздела указывают в виде заголовка в графе ''Наименование", подчеркивают тонкой линией и выделяют пустыми строками. В раздел "Документация" вносят документы, составляющие основной комплект конструкторских документов специфицируемого изделия, кроме его спецификации. Документы записывают в последовательности, указанной в ГОСТ 2.102-88, например: Сборочный чертеж "СБ", чертеж общего вида "ВО", монтажный чертеж "МС", технологическая схема "ТС", пояснительная записка "ПЗ" и т.д. В разделы "Комплексы", "Сборочные единицы". "Детали" вносят комплексы, сборочные единицы и детали, непосредственно входящие в специфицируемое изделие. Сборочными единицами в данном случае могут быть сварные соединения, армированные детали и т.д.


[an error occurred while processing this directive]