Вычисление определенного интеграла

Инженерная графика и машиностроительное черчение

В разделе "Стандартные изделия" записывают изделия, примененные по государственным или другим стандартам (ГОСТ 2.106-96). Запись в пределах каждой категории стандартов производят по однородным группам (крепежные изделия, подшипники, фланцы и т.д.). в пределах каждой группы - в алфавитном порядке наименований изделий, в пределах каждого наименования - в порядке возрастания обозначения стандартов, а в пределах каждого стандарта - в порядке возрастания основных параметров или размеров изделия. Например, группа крепежных изделий может быть записана следующим образом

Криволинейный интеграл 2 рода.

Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является проекция длины кривой на ось Оx или Оу или Oz .

J = lim f(Mi) xi  f(x,y,z) dx ; J = lim f(Mi) yi  f(x,y,z) dy

J = lim f(Mi) zi  f(x,y,z) dz ( 6 ) 

Интеграл 2-ого рода получается из интеграла 1-ого рода простой заменой ds на dx, dy, dz .

В конкретных задачах при прохождении контура L часто возникает необходимость вычислять интегралы по всем трем проекциям, причем, от разных функций. Поэтому в общем случае криволинейный интеграл 2-ого рода записывается в виде

J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz  Pdx + Qdy + Rdz Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Дополнительная особенность : интеграл 2-ого рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования

Pdx + Qdy + Rdz = - Pdx + Qdy + Rdz ( 7 )

Действительно, если x1 < x2 , то при движении x1x2 имеем x = x2 – x1 > 0 , а в случае  x2x1 x = x1 – x2 < 0 , т.е. знак проекции участка кривой на ось меняется.

Пусть вдоль кривой L движется тело и в каждой точке траектории М на него действует сила = {P(M), Q(M), R(M)}. Cмещение тела в окрестности точки М определяет вектор d = ={dx, dy, dz} (направление касательной). Тогда работа по перемещению тела в окрестности точки М равна скалярному произведению векторов A(M) =d= P(M)dx + Q(M)dy +R(v)dz. Суммирование по всем точкам и переход к пределу n приводят к криволинейному интегралу

lim  = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz

Пример . Вычислить определитель из предыдущего примера Решение: Задача состоит в том, чтобы получить как можно больше нулей в какой-нибудь из строк или столбцов, и, затем разложить по этой строке (столбцу) определитель. Получим нуль в первой строке в первом столбце. Для этого умножим элементы четвертого столбца на (-1) и сложим с элементами первого столбца, при этом определитель не изменится

Физический смысл криволинейного интеграла 2 рода – работа по перемещению тела вдоль кривой в поле переменных сил.

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода.

1) Кривая L задана параметрически : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1tt2 . 

 Тогда, dx = x`dt , dy = y`dt , dz = z`dt  и для плоской кривой имеем

Pdx + Qdy = [P(x(t),y(t))x`(t) + Q(x(t),y(t))y`(t)]dt ( 8 )

2) Плоская кривая L задана явным уравнением : y = y(x) на [a,b] . Тогда dy = y`(x)dx и

P(x,y)dx + Q(x,y)dy =[P(x, y(x)) + Q(x,y(x)) y`(x)] dx ( 9 ) 

т.е. получаем стандартный определенный интеграл. Замена переменной  у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.

 

Пр.2  J =y2dx + x2dy , где L – верхняя половина эллипса: x = a cos t, y = b sin t , проходимая по часовой стрелке.

Решение: dx = -a sin t dt , dy = b cos t dt , J =[b2sin2t (-a sin t) + a2cos2t b cost] dt = = ab [b sin3t – a cos3t] dt = 4/3 ab2

Пр.3 J = (x2 – y2)dx + xy dy , где L :

а) прямая от точки  А(1;1) до B(2;4) ;

б) дуга параболы y = x2 от А до В ;

 в) ломаная АСВ , где С(2;1).

Решение а): уравнение прямой АВ : (x – 1) / ( 2 – 1)  = (y – 1) / (4 – 1) Þ y = 3x – 2 ,

dy = 3 dx, J =[x2– (3x – 2)2+ 3x(3x – 2)] dx =(x2 + 6x – 4) dx = x3/3 +3x2 –4x|12 = 8/3.

Решение б):парабола y = x2, dy = 2x dx, J =[x2–x4+2x4] dx =(x3/3 + x5/5)|12 = - 8/15

Решение в): ломаная АСВ = АС + СВ

Прямая АС : у = 1, dy = 0 , J = (x2 – 12) dx = (x3/3 – x ) |12 = 4/3 .

Прямая СВ : x = 2, dx = 0 , J =2y dy = y2 |14 = 15 . J = 15 + 4/3 .

Пр. 4 Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 – cos t, o £ t £ p

Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам : xc =  , yc =  , где s – длина дуги. ( 10 )

Имеем (x`t)2 + (y`t)2 = (1 – cos t)2 + (sin t)2 = 2(1 – cos t) = 4 sin2(t/2) , тогда по ( 4 )

ds = 2 sin(t/2) dt и длина дуги s = ds = 2sin(t/2) dt = - 4 cos(t/2) |0 p = 4

xc =  = 2/4(t – sin t) sin(t/2) dt = 8/3

yc =  = 2/4(1 – cos t) sin(t/2) dt = 4/3

Приложения криволинейных  интегралов 2-ого рода. Рассмотрим криволинейный интеграл 2-ого рода J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz ( 11 ).

Формула Грина. Рассмотрим интеграл 2-ого рода по замкнутому контуру L на плоскости J = P(x,y) dx + Q(x,y) dy ( 18 ) Покажем, что интеграл ( 8 ) можно свести к двойному интегралу по области D , ограниченной контуром L.

Интегрирование функций нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства.

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования S на значение функции f() в некоторой точке, т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом V , т.е. f() = V/S. 

Преобразования плоских областей. Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

Поверхности второго порядка. Общий вид уравнения поверхности в R3 : F(x,y,z) = 0 .

Графы спецификации заполняются следующим образом: В графе "Формат" указывают размер формата, на котором выполнен чертеж детали или иной конструкторский документ. Для деталей, на которые не выполнены чертежи, в графе указывают БЧ. Графу не заполняют для разделов "Стандартные изделия", ''Прочие изделия" и "Материалы". В графе "Зона" указывают обозначение зоны, в которой находится записываемая составная часть. В учебных чертежах графу не заполняют.


[an error occurred while processing this directive]