МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ. ЖИДКОСТИ

Основные формулы

· Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа

для произвольного количества вещества ν газа

где a и b — постоянные Ван-дер-Ваальса (рассчитанные на один моль газа); V – объем, занимаемый газом; V_m — молярный объем; р — давление газа на стенки сосуда.

Внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул,

, или .

· Связь критических параметров – объема, давления и температуры газа – с постоянными а и b Ван-дер-Ваальса:

V_m_кр=3b; ; .

· Внутренняя энергия реального газа

где С_V — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

· Поверхностное натяжение

σ=F/l,

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости, или

где ΔE – изменение свободной энергии поверхностной пленки жидкости, связанное с изменением площади ΔS поверхности этой пленки.

· Формула Лапласа в общем случае записывается в виде

где р – давление, создаваемое изогнутой поверхностью жидкости; σ – поверхностное натяжение; R₁ и R₂ – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений поверхности жидкости, а в случае сферической поверхности

p=2σ/R.

· Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

где σ – краевой угол; R – радиус канала трубки; р – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения.

· Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными плоскостями

где d — расстояние между плоскостями.

· Расход жидкости в трубке тока (рис. 12.1):

а) объемный расход Q_V=vS;

б) массовый расход Q_m=pvS, где S – площадь поперечного сечения трубки тока; v – скорость жидкости; р – ее плотность.

· Уравнение неразрывности струи

,где S₁ и S₂ – площади поперечного сечения трубки тока в двух местах; v₁ и v₂ –соответствующие скорости течений.

· Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости в общем случае

где p₁ и р₂ – статические давления жидкости в двух сечениях трубки тока; v₁ и v_{2 –}скорости жидкости в этих сечениях; и – динамические давления жидкости в этих же сечениях; h₁ и h₂ – высоты их над некоторым уровнем (рис. 12.1); pgh₁ и pgh₂ – гидростатические давления.

Уравнение Бернулли в случае, когда оба сечения находятся на одной высоте (h₁=h₂)

· Скорость течения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде

где h — глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

· Формула Пуазейля. Объем жидкости (газа), протекающей за время t через длинную трубку,

где r — радиус трубки; l – ее длина; Δp – разность давлений на концах трубки; η – динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения) жидкости.

· Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках

где <v> – средняя по сечению скорость течения жидкости; d – диаметр трубки, и для движения шарика d жидкости

где v – скорость шарика; d—его диаметр.

Число Рейнольдса Re есть функция скорости v тела, линейной величины l, определяющей размеры тела, плотности р и динамической вязкости η жидкости, т. е.

При малых значениях чисел Рейнольдса, меньших некоторого критического значения Re_к_p, движение жидкости является ламинарным. При значениях Re>>Re_кр движение жидкости переходит в турбулентное.

Критическое число Рейнольдса для движения шарика в жидкости Re_кр=0,5; для потока жидкости в длинных трубках Re_кр=2300.

· Формула Стокса. Сила сопротивления F, действующая со стороны потока жидкости на медленно движущийся в ней шарик,

где r – радиус шарика; v – его скорость.

Формула справедлива для скоростей, при которых число Рейнольдса много меньше единицы (Re<<l).

Гироскопом называется твердое тело, быстро вращающееся вокруг своей оси симметрии, соответствующей максимальному осевому моменту инерции. Движение гироскопа - пример движения тела, имеющего только одну закрепленную точку. Такое движение в каждый момент может рассматриваться как вращение вокруг оси, проходящей через эту точку. Если положение твердого тела относительно непод-вижной системы отсчета задавать углами Эйлера (рис.1), то мгновенная угловая скорость тела может быть представлена как сумма:

= 1 + 2 + 3 , (1)

где 1 = - скорость собственного вращения вокруг оси симметрии тела; 2 = - скорость прецессии; 3 = - скорость нутации;

Рис.1

OXYZ - неподвижная прямоугольная система координат; OX'Y'Z' - жестко связанная с телом прямоуголь-ная система координат;ON - линия узлов (линия пересечения плоскостей XOY и X'O'Y'); - угол собственно-го вращения; - угол прецессии; - угол нутации.
При этом вектор угловой скорости меняет свое положение как относительно неподвижной системы отсчета, так и относительно самого тела.
Описание поведения гироскопа основано на применении уравнения моментов:
(2)

где - момент импульса гироскопа относительно закрепленной точки О;
- сумма моментов сил относительно той же точки.
Заметим, что в общем случае движения момент импульса не совпадает по направлению ни с вектором угловой скорости , ни с одним из направлений, отмеченных на рис.1

Однако если гироскоп вращается очень быстро вокруг своей оси симметрии, то есть:
1 >> 2 и 1 >> 3 ,
то вектор угловой скорости и вектор момента импульса практически совпадают с направлением оси симметрии гироскопа OZ'.
На этом основании в элементарной теории гироскопа делается допущение, что момент импульса на-правлен вдоль оси собственного вращения гироскопа.
Если гироскоп уравновешен, то его центр масс совпадает с неподвижной точкой О и, следовательно, сила тяжести не создает относительно точки О момента, а моментами сил сопротивления можно пренебречь и тогда согласно (2)

и момент импульса должен оставаться постоянным. В этом случае ось симметрии быстро вращающегося гироскопа сохраняет свое направление относительно неподвижной системы координат.