МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Примеры решения задач

Пример 7. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинарным. Движение считать установившимся.

Решение. Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот слой вследствие внутреннего трения увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости .от размеров в формы тела и его скорости. Характер движения зависит также от свойств жидкости и определяется безразмерным числом Рейнольдса.

Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром d, то число Рейнольдса определяется по формуле

Re=pvd/h, (1)

а критическое значение этого числа Reкр=0,5.

Скорость v выразим, исходя из следующих соображений. На свинцовый шарик, падающий в глицерине, действуют три силы:

1)      сила тяжести шарика

,

где pсв — плотность свинца; V— объем шарика;

2)      выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда.

где pгл—плотность глицерина;

Fвыт=pглVg=1/6ppглgd3,

3)      сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса,

4)      ,

При установившемся движении шарика в жидкости (v=const) сила тяжести шарика уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы внутреннего трения, т. е.

1/6ppсвgd3=1/6ppглgd3+3phdv,

откуда

 (2)

Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно d, найдем

.

Максимальное значение диаметра dmax при котором движение остается еще ламинарным, соответствует критическому значению числа Рейнольдса Reкp. Поэтому

.

Подставив сюда значения величин h (см. табл. 14), Reкp, pcв, pгл и произведя вычисления, получим

dmax=5,29 мм.

Гироскопом называется твердое тело, быстро вращающееся вокруг своей оси симметрии, соответствующей максимальному осевому моменту инерции. Движение гироскопа - пример движения тела, имеющего только одну закрепленную точку. Такое движение в каждый момент может рассматриваться как вращение вокруг оси, проходящей через эту точку. Если положение твердого тела относительно непод-вижной системы отсчета задавать углами Эйлера (рис.1), то мгновенная угловая скорость тела может быть представлена как сумма:

= 1 + 2 + 3 , (1)

где 1 = - скорость собственного вращения вокруг оси симметрии тела; 2 = - скорость прецессии; 3 = - скорость нутации;


Рис.1

OXYZ - неподвижная прямоугольная система координат; OX'Y'Z' - жестко связанная с телом прямоуголь-ная система координат;ON - линия узлов (линия пересечения плоскостей XOY и X'O'Y'); - угол собственно-го вращения; - угол прецессии; - угол нутации.
При этом вектор угловой скорости меняет свое положение как относительно неподвижной системы отсчета, так и относительно самого тела.
Описание поведения гироскопа основано на применении уравнения моментов:
(2)

где - момент импульса гироскопа относительно закрепленной точки О;
- сумма моментов сил относительно той же точки.
Заметим, что в общем случае движения момент импульса не совпадает по направлению ни с вектором угловой скорости , ни с одним из направлений, отмеченных на рис.1

Однако если гироскоп вращается очень быстро вокруг своей оси симметрии, то есть:
1 >> 2 и 1 >> 3 ,
то вектор угловой скорости и вектор момента импульса практически совпадают с направлением оси симметрии гироскопа OZ'.
На этом основании в элементарной теории гироскопа делается допущение, что момент импульса на-правлен вдоль оси собственного вращения гироскопа.
Если гироскоп уравновешен, то его центр масс совпадает с неподвижной точкой О и, следовательно, сила тяжести не создает относительно точки О момента, а моментами сил сопротивления можно пренебречь и тогда согласно (2)

и момент импульса должен оставаться постоянным. В этом случае ось симметрии быстро вращающегося гироскопа сохраняет свое направление относительно неподвижной системы координат.