ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ. АКУСТИКА примеры решения задач

Решение. Выберем систе­му координат так, чтобы ось х была направлена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся на источнике MN плоской волны (рис. 7.2). С учетом этого, уравнение бегущей волны запишется в виде

x₁=Acos(wt—kx). (1)

Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, прейдя дважды расстояние l-х, и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фазу на p, то уравнение отраженной волны может быть записано в виде

x₂=Acos{wt—k[x+2(l—x)]+ p}

После очевидных упрощений получим

x₂=Acоs[wt—k (2l—х)]. 2) Сложив уравнения (1) и (2), найдем уравнение стоячей волны:

x=x₁₊x₂=Acos(wt—kx)— Acos[wt—k(2l—x)].

Воспользовавшись формулой разности косинусов, найдем

x= -2Asink(l—x)sin(wt—kl).

Так как выражение Asink(l—х) не зависит от времени, то, взятое по модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:

A_ст=|2Asink(l—x)|.

Зная выражение амплитуды, можем найти координаты узлов и пучностей.

Узлы возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны рав­на нулю: |2Asink(l—x)|=0. Это равенство выполняется для точек, координаты x_n которых удовлетворяют условию

k (l— x_n)=np (n=0, 1, 2, ...). (3)

Но k=2p/l, или, так как l=J/v,

k=2pv/J.  (4) Подставив это выражение k в (3), получим

2pv(l— x_n)=npJ,

откуда координаты узлов

x_n=l—nJ/(2v).

Подставив сюда значения l, J, v и n=0, 1, 2, найдем координаты первых трех узлов:

x₀=4 м, x₁=3,61 м, x₂=3,23 м.

Пучности возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны максимальна: 2Asink(l—х')=2А. Это равенство выполняется для точек, координаты х'_n которых удовлетворяют условию k(l— х'_n)=(2n+1)(p/2) (п=0, 1, 2, 3, ...). Выразив здесь k по (4), получим

4vх'_n =4vl—(2n+1)J,

откуда координаты пучностей

х'_n=l—(2n+l)J/(4v).

Подставив сюда значения l, J, v и n=0, 1, 2, найдем координа­ты первых трех пучностей:

х'₀=3,81 м, х'₁=3,42 м, х'₂ =3,04 м.

Границы максимальных смещений точек среды в зависимости от их координат изображены на рис. 7.3. Здесь же отмечены коор­динаты х₀,, х₁, х₂ , ... узлов и координаты х'₀, х'₁, х'₂ ... пуч­ностей стоячей волны.