ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ примеры решения задач

Пример 8. Стержень длиной l=1,5 м и массой М=10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верх­ний конец стержня (рис. 3.6). В середину стержня ударяет пуля массой m=10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью v_o=500 м/с, и

  Рис. 3.6 застревает в стержне. На какой угол  отклонится стержень после удара?

Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара и нуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми скоростями.

Рассмотрим подробнее явления, происходящие при ударе. Сначала пуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежу-

* Предполагается, что моменты всех внешних сил (сил тяжести и сил реакции), действующих на эту систему по отношению к оси вращения, являются уравновешенными. Трением пренебречь.

** В действительности с изменением положения рук человека (без гирь) изменяется момент инерции его тела относительно оси вращения, однако ввиду сложности учета этого изменения будем считать момент инерции J_о тела человека постоянным.

ток времени приводит его в движение с угловой скоростью  и сообщает ему кинетическую энергию

 (1)
где — момент инерции стержня относительно оси вращения.

Затем стержень поворачивается на искомый угол , причем
центр масс его поднимается на высоту . В от-­
клоненном положении стержень будет обладать потенциальной
энергией

 (2)

Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии. Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

Отсюда

Подставив в эту формулу выражение для момента инерции стержня  , получим

   (3)

Чтобы из выражения (3) найти , необходимо предварительно
определить значение . В момент удара на пулю и на стержень
действуют силы тяжести, линии действия которых проходят через
ось вращения и направлены вертикально вниз. Моменты этих сил
относительно оси вращения равны нулю. Поэтому при ударе пули
о стержень будет справедлив закон сохранения момента импульса.
В начальный момент удара угловая скорость стержня =0,
поэтому его момент импульса . Пуля коснулась стержня
и начала углубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение
и участвуя во вращении стержня около оси. Начальный момент
импульса пули, где — расстояние точки попадания от
оси вращения. В конечный момент удара стержень имел угловую
скорость , а пуля — линейную скорость , равную линейной
скорости точек стержня, находящихся на расстоянии т от оси вращения. Так как , то конечный момент импульса пули

Применив закон сохранения импульса, можем написать

 , или  ,
откуда

 (4)
где  — момент инерции системы стержень — пуля.

Если учесть, что в (4)  , а также что , то
после несложных преобразований получим

 (5)

При плоскопараллельном движении все точки твёрдого тела описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях. такое движение можно представить как наложение поступательного движения с кинематическими характеристиками центра масс тела и вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости поступательного движения и прохо-дящей через центр масс. В данной работе плоскопараллельное движение изучается на приборе называемом маят-ником Максвелла. Устройство прибора схематически показано на рисунке. На валик радиуса r наглухо насажан на диск радиуса R. К валику симметрично отно-сительно диска прикреплены две нити одинаковой длинны, с помощью которых маятник подвешивается к стойке. Нитн симметрично и в один ряд наматываются на валик и валик поэтому поднимается. Затем валику с диском предоставляется возможность свободно опускаться. При этом нити разматываются до полной длины в нижнем положении маятника, а затем в силу того, что диск продолжает по инерции вращаться в том же направлении, вновь на-матывается на валик. Дойдя до верхнего положения, диск опять начинает опускаться вниз и т.д. Маятник будет совершать плоское движение, при котором все его точки пере-мещаются в плоскостях, перпендикулярных оси валика.