ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТЕЛА, ДВИЖУЩИХСЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО1) координату x1 точки, Первым примером может служить математический маятник. Математический маятник включает материальную точку, подвешенную с помощью длинной нерастяжимой и невесомой нити к неподвижной точке в однородном гравитационном поле [2, 396].
Аналогичным образом можно рассматривать и так называемый физический маятник. Физическим маятником называется тело, подвешенное в поле силы тяжести в точке, не совпадающей с центром инерции [2, 398].
Рассмотрим пример из области электромагнетизма, а именно – идеальный колебательный контур, состоящий из конденсатора емкостью С и катушки индуктивностью L. Проблема изучения системы композиционного мышления в целом сводится к трем крупным вопросам
Если зарядить конденсатор и предоставить систему самой себе, то в ней начнется процесс разряда конденсатора через катушку индуктивности. Ток разряда при этом будет изменяться со временем, что приведет к возникновению ЭДС самоиндукции в катушке и, как следствие, к перезарядке конденсатора. Затем снова последует разряд конденсатора и так далее. Таким образом, в контуре возникнут незатухающие колебания заряда q, тока I и напряжения Uc. Уравнение, которому будут подчиняться эти колебания, легко получить, используя второе правило Кирхгофа. Если обозначить напряжение на конденсаторе через Uс, а ЭДС самоиндукции через , то из указанного закона следует: Подбор колесные опоры. Отличного качества
(2.1)
Напряжение Uс на конденсаторе выражается через его заряд и емкость в виде
2) мгновенную скорость v>1, Гипотезы прочности Напряженное состояние в точке характеризуется нормальными и касательными напряжениями, возникающими на всех площадках (сечениях), проходящих через данную точку. Обычно достаточно определить напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через рассматриваемую точку. Точку принято изображать в виде маленького элемента в форме параллелепипеда
Задача .
Масса ракеты с полным запасом топлива равна М, без топлива m, скорость истечения продуктов горения из ракеты равна с, начальная скорость ракеты равна нулю. Найти скорость ракеты после сгорания топлива, пренебрегая силой тяжести и силой сопротивления воздуха (формула Циолковского).
Решение. Обозначим через x массу сгоревшего топлива, а через v(x) – скорость ракеты как функцию от массы сгоревшего топлива. По закону сохранения импульса получим соотношение
[v(x+Dx) - v(x)] ×(M - x) = cDx.
Слева в этом равенстве стоит величина приращения импульса ракеты, которая стала легче на x, справа – величина импульса сгоревшего топлива массы Dx. Разделив обе части равенства на Dx и перейдя к пределу, получим уравнение
.
Решая его, получим
.
Когда топливо сгорело, x = M – m. Следовательно, скорость ракеты после сгорания топлива равна
.
Задачи для самостоятельной подготовки
а) Воронка имеет форму конуса радиуса R = 6 см и высоты H = 10 см, обращённого вершиной вниз. За какое время из воронки через отверстие диаметра 0.5 см, сделанное в вершине конуса, вытечет вся вода?
б) В воздухе комнаты объёмом 200 м3 содержится 0.15% углекислого газа СО2. Система вентиляции подаёт 20м3 воздуха в минуту. Воздух, подаваемый ею, содержит 0.04% СО2. Через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое?
Известный английский писатель, теоретик искусства, философ, художник, один из лидеров движения "Искусства и ремесла", оказавший существенное влияние на культурную жизнь Англии II-й пол. ХIХв. Сторонник прерафаэлитов Рескин писал об ужасах и антигуманности индустриализации и об идиллической средневековой сельской Англии. Его произведения о проблемах культуры отличаются изысканностью слога.
Пример 1. К концам однородного стержня приложены две противоположно направленные силы: F1=40H и F2=100 H
Пример 2. В лифте на пружинных весах находится тело массой т=10 кг . Лифт движется с ускорением а=2 м/с2. Определить показания весов в двух случаях, когда ускорение лифта направлено: 1) вертикально вверх, 2) вертикально вниз.
Пример 3. При падении тела с большой высоты его скорость vуст установившемся движении достигает 80 м/с. Определить время
, в течение которого начиная от момента начала падения скорость становится равной 1/2ст. Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной скорости тела.
Пример 5. На спокойной воде пруда стоит лодка длиной L и массой М перпендикулярно берегу, обращенная к нему носом. На корме стоит человек массой т. На какое расстояние s приблизится лодка к берегу, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Трением о воду и воздух пренебречь.
Пример 6. Два шара массами m1=2,5 кг и m2==1,5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями v1=6 м/с и v>2=2 м/с. Определить: 1) скорость и шаров после удара; 2) кинетические энергииПример 7. Шар массой m>1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v1, столкнулся с неподвижным шаром массой т2. Шары абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю
своей кинетической энергии первый шар передал второму?
Пример 8. Молот массой m>1=200 кг падает на поковку, масса т2, которой вместе с наковальней равна 2500 кг. Скорость v1 молота в момент удара равна 2 м/с. Найти: 1) кинетическую энергию T1 молота в момент удара; 2) энергию Т2, переданную фундаменту; 3) энергию Т, затраченную на деформацию поковки; 4) коэффициент полезного действия(КПД) удара молота о поковку. Удар молота о поковку рассматривать как неупругий.
Пример 9. Боек (ударная часть) свайного молота массой т1 =500 кг падает на сваю массой m>2=100 кг со скоростью v>1=4 м/с. Определить: 1) кинетическую энергию T1 бойка в момент удара; 2) энергию T2, затраченную на углубление сваи в грунт; 3) кинетическую энергию Т, перешедшую во внутреннюю энергию системы; 4) КПД
удара бойка о сваю. Удар бойка о сваю рассматривать как неупругий.
Пример 1. Вычислить момент инерции Jz молекулы NО2 относительно оси z, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно плоскости, содержащей ядра атомов. Межъядерное расстояние d этой молекулы равно 0,118 нм, валентный угол>=140°.
Пример 2. Физический маятник представляет собой стержень длиной l=1 м и массой m1=l кг с прикрепленным к одному из егоПример 3. Вал в виде сплошного цилиндра массой m1=10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m>2=2 кг (рис. 3.3). С каким ускорением а будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?Пример 4. Через блок в виде диска, имеющий массу m=80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m1=100 г и m>2=200 г (рис. 3.4). С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.Пример 5. Маховик в виде диска массой m=50 кг и радиусом г=20 см был раскручен до частоты вращения n1=480 мин"1 и затем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент М сил трения, считая его постоянным для двух случаев: 1) маховик остановился через t=50 с; 2) маховик до полной остановки сделал N=200 оборотов.Пример 6. Платформа в виде диска радиусом R= 1,5 м и массой m1=180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n=10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой т2=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?Пример 7. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения n1=0,5 c-1. Момент инерции jo тела человека относительно оси вращения равен 1,6 кг м2. В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m=2 кг каждая. Расстояние между гирями l1=l,6 м. Определить частоту вращения n>2, скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние l2 между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь.Пример 8. Стержень длиной l=1,5 м и массой М=10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня (рис. 3.6). В середину стержня ударяет пуля массой m=10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью vo=500 м/с, и Рис. 3.6 застревает в стержне. На какой уголотклонится стержень после удара?
Пример 4.В гравитационном поле Земли тело массой m перемещается из точки 1 в точку 2 (рис. 4.5). Определить скорость v2 тела в точке 2, если в точке 1 его скорость
Пример 7. Из пружинного пистолета был произведен выстрел вертикально вверх. Определить высоту h, на которую поднимается пуля массой m 95%'>= 20 г, если пружина жесткостью k = 196 Н/м была сжата перед выстрелом на х = 10 см. Массой пружины пренебречь.МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Основные формулыПример 2. В лабораторной системе отсчета (K-система) движется стержень со скоростью υ=0,8 с . По измерениям, произведенным в системе, его длина l оказалась равной 10 м, а угол φ, который он составляет с осью х, оказался равным 30° . Определить собственную длину l стержня в K-системе, связанной со стержнем, и угол φ0, который он составляет с осью х' (р
Пример 3. Кинетическая энергия Т электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона.
Пример 4. Определить релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью υ =0,9 с (где с — скорость света в вакууме).
Пример 5. Релятивистская частица с кинетической энергией T=т0c2 (m0 — масса покоя частицы) испытывает неупругое столкновение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую массу т движущейся частицы; 2) релятивистскую массу т' и массу покоя m0' составной частицы; 3) ее кинетическую энергию Т'.
Пример 3. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m3=400 г укреплены шарики малых размеров массами m1=200 г и m2=300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.
Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень длиной l= 1 м и массой 3т1 с прикрепленным к одному из его концов
обручем диаметроми массой т1. Горизонтальная ось Ozмаятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему .Определить период Т колебаний такого маятника.
Пример 5. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями
; х2=
=, где А1=1 см, A2=2 см,
с,
с, ω ==
. 1.
Найти амплитуду А и начальную фазу результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.
Пример 6. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях,
Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ. АКУСТИКА Основные формулы
Пример 1. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью =15 м/с. Период Т колебаний точек шнура равен 1,2 с, амплитуда A=2 см.
- длину волны l;
- фазу j колебаний, смещение x, скорость
, и ускорение
, точки, отстоящей на расстоянии х=45 м от источника волн в момент t=4 с; 3) разность фаз Dj колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях x1=20 м и x2=30 м.
Пример 2.На расстоянии l=4 м от источника плоской волны частотой v=440 Гц перпендикулярно ее лучу расположена стена. Определить расстояния от источника волн до точек, в которых будут первые три узла и три пучности стоячей волны, возникшей в результате сложения бегущей и отраженной от стены волн. Скорость J волны считать равной 440 м/с.
Пример3. Источник звука частотойi>v=18 кГц приближается к неподвижно установленному резонатору, настроенному на акустическую волну длиной l= 1,7 см. С какой скоростью должен двигаться источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания резонатора? Температура T воздуха равна 290 К.
=30° к нормали. Определить импульс р, получаемый стенкой.
?
Силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.
|
|