Понятие о колебательных процесса

 

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.

Примеры колебаний:

  1. колебание величины заряда на обкладках конденсатора в колебательном контуре;

  2. колебание грузика, закрепленного на пружине;

  3. колебание маятника.

    14.1.1. Гармонические колебания

Гармонические колебания - это такие колебания, при которых колеблющаяся величина x изменяется со временем по закону синуса, либо косинуса:

,

или

гдеA - амплитуда;
    ω - круговая частота;
    α - начальная фаза;
( ωt + α ) - фаза.

14.1.1.1. Фаза колебания

Фаза колебания - это аргумент гармонической функции: ( ωt + α ). Начальная фаза α - это значение фазы в начальный момент времени, т.е. при t = 0.

14.1.1.2. Амплитуда колебания

Амплитуда колебанияA - это наибольшее значение колеблющейся величины.

14.1.1.3. Круговая или циклическая частота ω

При изменении аргумента косинуса, либо синуса на эти функции возвращаются к прежнему значению. Найдем промежуток времени T, в течение которого фаза гармонической функции изменяется на .

ω(t + T) +α = ωt + α + 2π,

или

ωT = .
.

Время T одного полного колебания называется периодом колебания. Частотойν называют величину, обратную периоду

.

Единица измерения частоты - герц (Гц), 1 Гц = 1 с-1.

Так как

,

то

.

Круговая, или циклическая частоты ω в раз больше частоты колебаний ν. Круговая частота - это скорость изменения фазы со временем. Действительно:

.

14.1.1.4. График гармонического колебания


14.2 Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

14.2.1 Колеблющиеся системы

Рассмотрим колебания в трех системах:

а) колебания заряда в колебательном контуре L,C;

б) колебания грузика, прикрепленного к пружине;

в) колебание физического маятника - любого тела, совершающего колебания вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести.


 

14.2.2 Колеблющиеся величины

q - заряд
x - координата грузика
φ - угол отклонения

 

14.2.3. Уравнения движения

Закон Ома (10.7)

Второй закон Ньютона (4.6)

Уравнение динамики вращательного движения (7.3)

 

14.2.4. Применим закон движения, т.е. учтем особенности наших систем:

Используя другое обозначение производной получим после несложных преобразований:

Мы получили дифференциальные уравнения, описывающие движения наших систем. В первых двух случаях уравнения одинаковы по форме, в третьем случае второй член уравнения содержит не φ, а Sin φ . Если рассматривать только малые отклонения маятника от положения равновесия, то тогда, при φ<< 1, Sin φ ≈ φи мы имеем:

.

Введем обозначения:

,,,
,,.

14.2.5. Дифференциальное уравнение колебательного движения

Для всех трех рассмотренных случаев имеем одно и то же дифференциальное уравнение колебательного движения

.

14.2.6. Решение дифференциального уравнения

Решением дифференциального уравнения называется функция, обращающая это уравнение в тождество.

Нетрудно проверить прямой подстановкой, что в нашем случае решение имеет вид:

,

т.е. является гармонической функцией. Значит уравнение , это дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Определение момента инерции маятника Обербека. I. Установил грузы т1 на расстоянии R от оси крестовины. Измерил это расстояние, и диаметр большого шкива с ниткой rп и без нее rн. II. Закрепил нить на шкиве большого диаметра. Установил рассчитанное количество грузов. Расчет производился из условия . Перевел платформу в верхнее положение. Определил высоту h платформы. При помощи секундомера измерил вре-мя хода маятника t . все это повторил пять раз, результаты занес в таблицу. III. Определил момент инерции по формуле , r взял как среднее значе-ние от радиуса с нитью и без нее. IV.