Последовательность расчета переходных процессов операторным методом

1. Определение независимых начальных условий путем расчета докоммутационного режима работы цепи.

2. Составление операторной схемы замещения цепи (для простых цепей с нулевыми начальными условиями этот этап может быть опущен).

3. Запись уравнений по законам Кирхгофа или другим методам расчета линейных цепей в операторной форме с учетом начальных условий.

4. Решение полученных уравнений относительно изображений искомых величин.

5. Определение оригиналов (с помощью формулы разложения или таблиц соответствия оригиналов и изображений) по найденным изображениям.

В качестве примера использования операторного метода определим ток через катушку индуктивности в цепи на рис. 1. Удельные потери мощности в магнитопроводе трансформатора

С учетом нулевого начального условия операторное изображение этого тока

.

Поляризация диэлектриков
Диэлектрики - это вещества, которые практически не проводят электрический ток. Поведение диэлектриков в электрическом поле определяется их внутренним строением. Как известно, мельчайшей частицей вещества, сохраняющей его химические свойства, является молекула. Молекулы состоят из атомов, в состав которых входят положительно заряженные ядра и отрицательно заряженные электроны. В целом молекулы нейтральны. Согласно теории ковалентных связей устойчивость молекул достигается путем образования одной или нескольких пар электронов, которые становятся общими для соединяющихся атомов, т. е. входят одновременно в состав оболочек двух атомов.
Для каждого рода зарядов - положительных (ядер) и отрицательных (электронов) - можно найти такую точку, которая будет являться как бы их "электрическим центром тяжести". Эти точки называются полюсами молекулы. Если в молекуле электрические центры тяжести положительных и отрицательных зарядов совпадут, то молекула будет неполярной. Но если молекула построена несимметрично, например состоит из двух разнородных атомов, то общая пара электронов может быть в большей или меньшей степени смещена в сторону одного из атомов. Очевидно, что в этом случае, вследствие неравномерного распределения положительных и отрицательных зарядов внутри молекулы, их электрические центры тяжести не совпадут и получится молекула, называемая полярной. Для испытания трансформатора служит опыт холостого хода и опыт короткого замыкания.

Для нахождения оригинала воспользуемся формулой разложения при нулевом корне

(1)

где , .

Корень уравнения

.

Тогда

и

.

Подставляя найденные значения слагаемых формулы разложения в (1), получим

.

Воспользовавшись предельными соотношениями, определим и :

 

Формулы включения

Формулу разложения можно использовать для расчета переходных процессов при нулевых и ненулевых начальных условиях. Если начальные условия нулевые, то при подключении цепи к источнику постоянного, экспоненциального или синусоидального напряжения для расчета переходных процессов удобно использовать формулы включения, вытекающие из формулы разложения.

  1. Формула включения на экспоненциальное напряжение
  2. (2)

    где - входное операторное сопротивление двухполюсника при определении тока в ветви с ключом (при расчете тока в произвольной ветви это операторное сопротивление, определяющее ток в ней по закону Ома); - к-й корень уравнения .

  3. Формула включения на постоянное напряжение (вытекает из (2) при )
  4. .

  5. Формула включения на синусоидальное напряжение (формально вытекает из (2) при и )

.

В качестве примера использования формулы включения рассчитаем ток в цепи на рис. 2, если в момент времени t=0 она подсоединяется к источнику с напряжением ; ; .

В соответствии с заданной формой напряжения источника для решения следует воспользоваться формулой (2). В ней . Тогда корень уравнения . Производная и .

В результате

.

 

Сведение расчета переходного процесса к расчету
с нулевыми начальными условиями

Используя принцип наложения, расчет цепи с ненулевыми начальными условиями можно свести к расчету схемы с нулевыми начальными условиями. Последнюю цепь, содержащую пассивные элементы, можно затем с помощью преобразований последовательно-параллельных соединений и треугольника в звезду и наоборот свести к виду, позволяющему определить искомый ток по закону Ома с использованием формул включения.

Методику сведения цепи к нулевым начальным условиям иллюстрирует рис. 3, на котором исходная схема на рис. 3,а заменяется эквивалентной ей схемой на рис. 3,б, где . Последняя в соответствии с принципом наложения раскладывается на две схемы; при этом в схеме на рис. 3,в составляющая общего тока равна нулю. Таким образом, полный ток равен составляющей тока в цепи на рис. 3,г, где исходный активный двухполюсник АД заменен пассивным ПД, т.е. схема сведена к нулевым начальным условиям.

Следует отметить, что если определяется ток в ветви с ключом, то достаточно рассчитать схему на рис. 3,г. При расчете тока в какой-либо другой ветви АД в соответствии с вышесказанным он будет складываться из тока в этой ветви до коммутации и тока в ней, определяемого подключением ЭДС к пассивному двухполюснику.

Аналогично можно показать, что отключение ветви, не содержащей индуктивных элементов, при расчете можно имитировать включением в нее источника тока, величина которого равна току в ветви до коммутации, и действующему навстречу ему.

 

Переходная проводимость

При рассмотрении метода наложения было показано, что ток в любой ветви схемы может быть представлен в виде

,

где - собственная (к=m) или взаимная проводимость.

Это соотношение, трансформированное в уравнение

 (3)

будет иметь силу и в переходном режиме, т.е. когда замыкание ключа в m-й ветви подключает к цепи находящийся в этой ветви источник постоянного напряжения . При этом является функцией времени и называется переходной проводимостью.

В соответствии с (3) переходная проводимость численно равна току в ветви при подключении цепи к постоянному напряжению .

 

Переходная функция по напряжению

Переходная функция по напряжению наиболее часто используется при анализе четырехполюсников.

Если линейную электрическую цепь с нулевыми начальными условиями подключить к источнику постоянного напряжения , то между произвольными точками m и n цепи возникнет напряжение

,

где - переходная функция по напряжению, численно равная напряжению между точками m и n схемы при подаче на ее вход постоянного напряжения .

Переходную проводимость и переходную функцию по напряжению можно найти расчетным или экспериментальным (осциллографирование) путями.

В качестве примера определим эти функции для цепи на рис. 4.

В этой схеме

,

где .

Тогда переходная проводимость

.

Переходная функция по напряжению

.

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1. Как в формуле разложения учитываются при наличии источника синусоидальной ЭДС источники других типов, а также ненулевые начальные условия?
  2. Как целесообразно проводить расчет переходных процессов операторным методом в сложных цепях при синусоидальном питании?
  3. Проведите сравнительный анализ классического и операторного методов.
  4. Какие этапы включает в себя операторный метод расчета переходных процессов?
  5. Из формулы включения на какое напряжение вытекают другие варианты ее записи? Запишите формулы включения.
  6. В каких случаях применяются формулы включения?
  7. Чему численно соответствуют переходная проводимость и переходная функция по напряжению?
  8. На основании решения задачи 7 в задании к лекции № 27 с использованием формулы разложения определить ток в ветви с индуктивным элементом, если параметры цепи: .
  9. Ответ: .

  10. С использованием формулы включения найти ток в неразветвленной части цепи на рис. 5,
если :
;
;
.
Ответ:
.
масса m материальной точки зависит от скорости по закону а импульс движущейся материальной точки определяется формулой где v - вектор мгновенной скорости материальной точки. Четвертое уравнение, в которое входит , оказывается, выражает уравнение баланса кинетической энергии материальной точки. Чтобы в этом убедиться, умножим уравнения Минковского на и на -, соответственно и сложим. Получим тогда уравнение Отсюда можно найти . Имеем где - мгновенная мощность, развиваемая силой, действующей на рассматриваемую материальную точку. Таким образом, и потому рассматриваемое четвертое уравнение примет вид : Таким образом, величину следует считать энергией движущейся материальной точки.