Векторные и топографические диаграммы

Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения, токи и т. д., называется векторной диаграммой. Векторные диаграммы наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин. Приближенное (качественное) построение диаграмм при аналитическом решении служит надежным контролем корректности хода решения и позволяет легко определить квадрант, в котором находятся определяемые векторы. Топология ЛВС

При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принимать вектор тока (см. лекцию № 8), а к нему под соответствующими углами подстраивать векторы напряжений на отдельных элементах. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принять вектор напряжения (см. лекцию № 8), ориентируя относительно него векторы токов в параллельных ветвях.

Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы. Они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости, отображающие их потенциалы. На топографической диаграмме, представляющей собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на каждом последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем элементе.

В качестве примера построим векторную диаграмму токов, а также топографическую диаграмму потенциалов для схемы, расчет которой был приведен в лекции № 5 (см. рис. 1).

Параметры схемы: Электрическая цепь, ее элементы и параметры Основные электротехнические устройства по своему назначению подразделяются на устройства, генерирующие электрическую энергию, и устройства, использующие электрическую энергию. В источнике электрической энергии механическая, тепловая, химическая или атомная энергия преобразуется в электрическую энергию. Потребители преобразуют электрическую энергию в другие виды энергии.

При данных параметрах и заданном напряжении на входе схемы найденные значения токов (см. лекцию № 5) равны: ; ; .

При построении векторной диаграммы зададимся масштабами токов и напряжений (см. рис. 2). Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, т.е. по значениям модуля и фазы . Однако на практике удобнее проводить построения, используя алгебраическую форму записи, поскольку при этом вещественная и мнимая составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней.

Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании известных значений их комплексов. Для построения топографической диаграммы предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов (другой вариант построения топографической диаграммы предполагает расчет комплексов напряжений на элементах цепи с последующим суммированием векторов напряжений вдоль контура непосредственно на комплексной плоскости). В осветительный узел входят патрон с лампой, установка которого производится тремя винтами 9, и поворотная обойма 7 со светофильтром, матовым стеклом и диафрагмой. Траверса крепится болтом к основанию 13 с вмонтированным внутрь него понижающим трансформатором.
На передней части основания находится тумблер, снизу основания - предохранитель, с тыльной стороны основания - вилка разъема II для подключения электролампы к трансформатору и винт заземления 12.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ Упражнение I. Определение удельной вращательной способности
1. Установить окуляр поля зрения и лупу шкалы поляриметра так, чтобы четко была видна вертикальная линия, разделяющая поле зрения, а также ясно были видны штрихи и цифры шкалы и нониуса.
2. Произвести установку поляризатора на нуль. Медленно вращая головку кремальерной передачи, добиться полной однородности обеих половин поля зрения и взять отсчет по шкале с помощью нониуса. Затем сбить установку и вновь все повторить. Так проделать 5-7 раз. При этом нулевые деления шкалы и нониуса в среднем должны совпадать. Если совпадения нет, определяют фактическое нулевое деление прибора и находят среднее значение поправки А сх которое добавляется с соответствующим знаком ко всем последующим значениям углов по шкале прибора.
3. В камеру поместить кювету с раствором сахара известной концентрации. Наполнение кюветы надо выполнять таким образом, чтобы под защитным стеклом не осталось пузырьков воздуха. Кювета закрывается с обоих концов поляриметрическими стеклами, которые прижимаются к торцам с помощью раек. Для более ластичного прижима между стеклами и гайками прокладываются резиновые кольца. Не следует сильно прижимать поляриметрические стекла, так как в результате этого может возникнуть дополнительное вращение плоскости поляризации, что влияет на точность результатов измерения.
После наполнения раствором сахара кювету устанавливают в камере прибора и поворачивают ее так, чтобы линия раздела делила поле зрения прибора на две примерно равные половины. Из-за вращения плоскости поляризации света раствором равномерная освещенность поля зрения окажется нарушенной. При помощи кремальерной передачи вновь добиться равной освещенности обеих половин поля зрения и произвести отсчет угла ^ по шкале и нониусу. Установку на равную освещенность произвести несколько раз. Определить среднее значение угла поворота плоскости поляризации раствором сахара заданной концентрации С.
4. Измерить толщину слоя ь раствора. Вычислить по формуле (2) удельную вращательную способность сахара.
Упражнение 2. Определение концентрации раствора сахара
1. Вновь установить поляриметр на нуль.
2. В камеру поместить трубку с раствором сахара неизвестной
концентрации С^ и аналогичным образом измерить угол поворота плоскости поляризации ^ .
3. Определить неизвестную концентрацию, пользуясь формулой (2) и результатами предыдущего упражнения.
Примечание. В сахариметре применена международная сахарная шкала. 100° этой шкалы соответствуют 34,62° угловым. Сахариметр показывает 100°-S , когда в нем поляризуют при 20°С в поляриметрической кювете длиной 200 мм раствор, содержащий при 20°С в 100 см3 26 г химических частей сухой сахарозы, взвешенной в воздухе латунными гирями.

При построении топографической диаграммы обход контуров можно производить по направлению тока или против. Чаще используют второй вариант.

В этом случае с учетом того, что в электротехнике принято, что ток течет от большего потенциала к меньшему, потенциал искомой точки равен потенциалу предыдущей плюс падение напряжения на элементе между этими точками. Если на пути обхода встречается источник ЭДС, то потенциал искомой точки будет равен потенциалу предыдущей плюс величина этой ЭДС, если направление обхода совпадает с направлением ЭДС, и минус величина ЭДС, если не совпадает. Это вытекает из того, что напряжение на источнике ЭДС имеет направление, противоположное ЭДС.

Обозначив на схеме по рис. 1 точки между элементами цепи e и a и приняв потенциал точки а за нуль( ), определим потенциалы этих точек:

или

Таким образом, в результате проведенных вычислений получено, что . Но разность потенциалов точек е и а равно напряжению U, приложенному к цепи, а оно равно 120 В. Таким образом, второй закон Кирхгофа выполняется, а следовательно, вычисления выполнены верно. В соответствии с полученными результатами строится топографическая диаграмма на рис. 2. Следует обратить внимание на ориентацию векторов, составляющих топографическую диаграмму, относительно векторов тока: для резистивных элементов соответствующие векторы параллельны, для индуктивного и емкостных – ортогональны.

В заключение заметим, что векторы напряжений ориентированы относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек электрической цепи. В этой связи допускается не указывать на топографической диаграмме направления векторов напряжений.

 

Потенциальная диаграмма

Потенциальная диаграмма применяется при анализе цепей постоянного тока. Она представляет собой график распределения потенциала вдоль участка цепи или контура, при этом по оси абсцисс откладываются сопротивления резистивных элементов, встречающихся на пути обхода ветви или контура, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек. Таким образом, каждой точке рассматриваемого участка или контура соответствует точка на потенциальной диаграмме.

Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на примере схемы на рис. 3.

При параметрах схемы ; ; ; ; и токи в ветвях схемы равны: ; ; .

Построим потенциальную диаграмму для контура abcda.

Для выбора масштаба по оси абсцисс просуммируем сопротивления резисторов вдоль рассматриваемого контура: после чего определим потенциалы точек контура относительно потенциала произвольно выбранной точки a, потенциал которой принят за нуль:

Таким образом, координаты точек потенциальной диаграммы: а(0;0);b(4;-20); c(4;17); d(7;2). С учетом выбранных масштабов на рис. 4 построена потенциальная диаграмма для выбранного контура.

 

Преобразование линейных электрических схем

Для упрощения расчета и повышения наглядности анализа сложных электрических цепей во многих случаях рационально подвергнуть их предварительному преобразованию. Очевидно, что преобразование должно приводить к упрощению исходной схемы за счет уменьшения числа ее ветвей и (или) узлов. Такое преобразование называется целесообразным. При этом при любых способах преобразований должно выполняться условие неизменности токов в ветвях участков схемы, не затронутых этими преобразованиями. Из последнего вытекает, что, если преобразованию подвергаются участки цепи, не содержащие источников энергии, то мощности в исходной и эквивалентной схемах одинаковы. Если в преобразуемые участки входят источники энергии, то в общем случае мощности в исходной и преобразованной цепях будут различны.

Рассмотрим наиболее важные случаи преобразования электрических цепей.

1, Преобразование последовательно соединенных элементов

Рассмотрим участок цепи на рис. 5,а. При расчете внешней по отношению к этому участку цепи данную ветвь можно свести к виду на рис. 5,б, где

(1)

или

.(2)

 


При этом при вычислении эквивалентной ЭДС k-я ЭДС берется со знаком “+”, если ее направление совпадает с направлением эквивалентной ЭДС, и “-”, если не совпадает.

2 Преобразование параллельно соединенных ветвей

Пусть имеем схему на рис. 6,а.

Согласно закону Ома для участка цепи с источником ЭДС

,

где .

Тогда

 ,

где

;(3)
 ,(4)

 

причем со знаком “+” в (4) записываются ЭДС и ток , если они направлены к тому же узлу, что и ЭДС ; в противном случае они записываются со знаком “-”.

3. Взаимные преобразования “треугольник-звезда”

В ряде случаев могут встретиться схемы, соединения в которых нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному типу (см. рис. 7). В таких случаях преобразования носят более сложный характер: преобразование треугольника в звезду и наоборот.

Преобразовать треугольник в звезду – значит заменить три сопротивления, соединенных в треугольник между какими-то тремя узлами, другими тремя сопротивлениями, соединенными в звезду между теми же точками. При этом на участках схемы, не затронутых этими преобразованиями, токи должны остаться неизменными.

Без вывода запишем формулы эквивалентных преобразований

Треугольник

звезда 

 

Звезда

треугольник

 

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш.шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Что представляют собой векторные диаграммы?
  2. Что такое топографические диаграммы, для чего они служат?
  3. В чем сходство и различие топографической и потенциальной диаграмм?
  4. Какой практический смысл преобразований электрических цепей?
  5. В чем заключается принцип эквивалентности преобразований?
  6. Построить потенциальные диаграммы для левого и внешнего контуров цепи рис.3.
  7. Полагая в цепи на рис. 8 известными ток  и параметры всех ее элементов, качественно построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму потенциалов для нее.
  8. Определить входное сопротивление цепи на рис. 8, если .
  9. Ответ: .

  10. Определить сопротивления ветвей треугольника, эквивалентного звезде между узлами a,c и d в цепи на рис. 8.
  11. Ответ: ; ; .

  12. Определить сопротивления ветвей звезды, эквивалентной треугольнику в цепи на рис. 8, состоящему из элементов , и .
  13. Ответ: ; ; .

    Расщепление энергетических уровней атома под действием магнитного поля. Это объясняется тем, что атом, обладающий магнитным моментом J, приобретает в магнитном поле дополнительную энергию Е=- JBB (25.1),где JB - про-екция магнитного момента на направление поля JB=- BgmJ => Е= BgBmJ (mJ=-J,-J+1,…,J-1,J) Из этой формулы =>, что Энергетический уровень, состояния 2S+1LJ, расщепляется на 2J+1 равноотстоящих подуровня, причем величина расщепления зависит от множителя Ланде, т.е. от квантовых чисел L,S,J данного уровня. До включения поля состояния, отличавшиеся значениями mJ, обладали одинаковой энергией, т.е. наблюдалось вырождение