Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС


Возьмем два участка цепи a-b  иc-d(см. рис. 1) и составим для них уравнения в комплексной форме с учетом указанных на рис. 1 положительныхнаправлений напряжений и токов.

 

Объединяя оба случая, получим Протокол пересылки файлов (FTP)

(1)

или для постоянного тока

(2)

 

Формулы (1) и (2) являются аналитическим выражением закона Ома для участка цепи с источником ЭДС, согласно которому ток на участке цепи с источником ЭДС равен алгебраической сумме напряжения на зажимах участка цепи и ЭДС, деленной на сопротивление участка. В случае переменного тока все указанные величины суть комплексы. При этом ЭДС и напряжение берут со знаком “+”, если их направление совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком “-”, если их направление противоположно направлению тока. Поэтому световой вектор Е/ в волне, поляризованной по левому кругу, успеет повернуться на меньший угол, чем вектор Е^ в волне, поляризованной по правому кругу. Таким образом, результирующий вектор Е на выходе из активного вещества окажется повернутым на угол f относительно своего положения на входе в активную среду. Учитывая, что результирующий вектор Е должен составлять
равные углы с векторами Е/ и Е^ , можно записать (рис.16) fo + <р с ^э - у> . Откуда следует

где А - длина волны света в вакууме', t1f и П^_ - показатели преломления для волн с левым и правым вращением светового вектора. Анализ электрических цепей с одним источником питания В большинстве случаев при расчете электрических цепей известными (заданными) величинами являются электродвижущие силы (ЭДС) или напряжения и сопротивления резисторов, неизвестными (рассчитываемыми) величинами являются токи и напряжения приемников.
Если IT, > п^ , плоскость поляризации поворачивается вправо, как на рис.16; если М, ^li- влево. Как правило, оптически активные вещества существуют в двух разновидностях - правовращающие и левовращающие. При этом численное значение удельной вращательной способности одинаково для обеих разновидностей.
Феноменологическая электромагнитная теория, описывая формально вращение плоскости поляризации, не объясняет, почему скорость света в веществе может быть связана с характером поляризации волны, Объяснение этого эффекта с позиций микроскопической электродинамики основано на представлении об асимметричном строении молекул оптически активных веществ и на учете изменения фазы колебаний светового вектора на расстояниях, порядка линейных размеров молекул [3,5].
Явление вращения плоскости поляризации широко используется для исследования особенностей строения вещества и определения концентрации оптически активных веществ в растворах. Приборы, предназначенные для измерения величины угла поворота плоскости поляризации, называются поляриметрами. Поляриметр, применяемый для определения концентрации сахара в растворе путем измерения угла вращения плоскости поляризации, называется сахариметром.

Основы символического метода расчета цепей
синусоидального тока

 

Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности.

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

1.     Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

(3)

 

2.     Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

(4)

 

или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС

(5)

 

3.     Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:

§         первый закон Кирхгофа:

.(6)

 

§         второй закон Кирхгофа

.(7)

Пример.

Дано:

Определить:  1) полное комплексное сопротивление цепи ; 
2) токи  
Рис. 2 

Решение:

 

1.     .

2.     .

3.    

  .

4.     Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем:

.

Тогда

.

5.     Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это вытекает из закона Ома), то

6.     .

7.     Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме

или после подстановки численных значений параметров схемы

 

Специальные методы расчета

 

Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если воспользоваться специальными методами расчета, к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов.

 

Метод контурных токов

Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по замкнутым контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа . Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми. Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи.

Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных направлений перед началом расчета может не определять действительные направления токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его истинное направление противоположно.

Пусть имеем схему по рис. 3.

Выразим токи ветвей через контурные токи:

  ;

  ; ;

  ; .

Обойдя контур aeda, по второму закону Кирхгофа имеем

.

Поскольку ,

то

.

Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров:

совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние.

Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем:

При составлении уравнений необходимо помнить следующее:

* - сумма сопротивлений, входящих в i-й контур;

- сумма сопротивлений, общих для i-го и k-гоконтуров, причем  ;

члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком “+”;

знак “+” перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление i-й и k- й контурные токи проходят в одном направлении, в противном случае ставится знак “-”;

если i-й и k- й контуры не имеют общих сопротивлений, то ;

в правой части уравнений записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур: со знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контурного тока, и “-”, если не совпадает. 

В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем:

Следует обратить внимание на то, что, поскольку , коэффициенты контурных уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали.

Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в левых частях уравнений как известные контурные токи: k- й контурный ток, проходящий через ветвь с k- м источником тока равен этому току .

 

Метод узловых потенциалов

Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно , т.е. числу ветвей дерева .

Пусть имеем схему по рис. 4, в которой примем .

Допустим, что и известны. Тогда значения токов на основании закона Ома для участка цепи с источником ЭДС

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а:

и подставим значения входящих в него токов, определенных выше:

.

Сгруппировав соответствующие члены, получим:

.

Аналогично можно записать для узла b:

.

Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

1.      В левой части i-гоуравнения записывается со знаком “+”потенциал i-го узла, для которого составляется данное i-е уравнение, умноженный на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному i-му узлу, и со знаком “-”потенциал соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к i-му иk-му узлам.

Из сказанного следует, что все члены , стоящие на главной диагонали в левой части системы уравнений, записываются со знаком “+”, а все остальные – со знаком “-”, причем . Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали.

2.      В правой части i-гоуравнения записывается так называемый узловой ток , равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к i-му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС направлена к i-му узлу, в противном случае ставится знак “-”. Если в подходящих к i-му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

В заключение отметим, что выбор того или иного из рассмотренных методов определяется тем, что следует найти, а также тем, какой из них обеспечивает меньший порядок системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее использовать метод контурных токов, так как он не требует дополнительных вычислений с использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью.

 

Литература

 

1.     Основы теории цепей: Учеб.для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2.     Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с

.

Контрольные вопросы и задачи

 

1.      В ветви на рис. 1 . Определить ток .

Ответ: .

2.      В чем заключается сущность символического метода расчета цепей синусоидального тока?

3.      В чем состоит сущность метода контурных токов?

4.      В чем состоит сущность метода узловых потенциалов?

5.      В цепи на рис. 5 ; ; ; . Методом контурных токов определить комплексы действующих значений токов ветвей.

Ответ: ; ; .

6.      В цепи на рис. 6 . Рассчитать токи в ветвях, используя метод узловых потенциалов.

Ответ: ; ; ; ; ; ; .

Расщепление энергетических уровней атома под действием магнитного поля. Это объясняется тем, что атом, обладающий магнитным моментом J, приобретает в магнитном поле дополнительную энергию Е=- JBB (25.1),где JB - про-екция магнитного момента на направление поля JB=- BgmJ => Е= BgBmJ (mJ=-J,-J+1,…,J-1,J) Из этой формулы =>, что Энергетический уровень, состояния 2S+1LJ, расщепляется на 2J+1 равноотстоящих подуровня, причем величина расщепления зависит от множителя Ланде, т.е. от квантовых чисел L,S,J данного уровня. До включения поля состояния, отличавшиеся значениями mJ, обладали одинаковой энергией, т.е. наблюдалось вырождение