Переходные процессы в линейных
электрических цепях

Общая характеристика переходных процессов

       В электрических цепях возможны включения и отключения отдельных ветвей, короткие замыкания участков цепи, различного рода переключения. Любые изменения в электрических цепях можно представить в виде переключений или коммутаций. Характер коммутации указывается в схеме с помощью рубильника со стрелкой. По направлению стрелки можно судить, замыкается или размыкается рубильник.
      При коммутации в цепи возникают переходные процессы, т.е. процессы перехода токов и напряжений от одного установившегося значения к другому.
    Изменения  токов  и напряжений  вызывают    одновременное  изменение  энергии электрического и магнитного полей, связанных с элементами цепи - емкостями и индуктивностями. Однако энергия электрического поля и энергия магнитного поля могут изменяться только непрерывно, так как скачкообразное изменение потребовало бы от источника бесконечно большой мощности. На этом рассуждении основаны законы коммутации.

      Первый закон. В любой ветви с индуктивностью ток не может изменяться скачком и в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел непосредственно перед моментом коммутации

iL (0+) = iL (0-),

      где  iL (0+) - ток в ветви с индуктивностью в момент коммутации, сразу после коммутации. Знак "+" в формуле обычно не записывается. Время переходного процесса отсчитывается от момента коммутации;
             iL (0-) - ток в индуктивности непосредственно перед коммутацией.

      Второй закон. Напряжение на емкости сразу после коммутации сохраняет то значение, которое оно имело непосредственно перед моментом коммутации.

uC (0+) = uC (0-),

      где  uC (0+) - напряжение на емкости в момент коммутации;
             uC (0-) - напряжение на емкости непосредственно перед моментом коммутации.

      Допущения, применяемые при анализе переходных процессов.

  1. Полагают, что переходный процесс длится бесконечно большое время.
  2. Считают, что замыкание и размыкание рубильника происходит мгновенно, без образования электрической дуги.
  3. Принимают, что к моменту коммутации предыдущие переходные процессы в цепи закончились.

    В соответствии с классическим методом расчета, переходный ток в ветви схемы представляют в виде суммы принужденного и свободного токов.

.

      где  iпр(t) - принужденный ток, определяется в установившемся режиме после коммутации. Этот ток создается внешним источником питания. Если в цепь включен источник постоянной ЭДС, принужденный ток будет постоянным, если в цепи действует источник синусоидальной ЭДС, принужденный ток изменяется по периодическому, синусоидальному закону;
             iсв(t) - свободный ток, определяется в схеме после коммутации, из которой исключен внешний источник питания. Свободный ток создается внутренними источниками питания: ЭДС самоиндукции индуктивности или напряжением заряженной емкости.

      Свободный ток определяют по формуле:

.

      Количество слагаемых в формуле равно числу реактивных элементов (индуктивностей и емкостей) в схеме.
      P1, P2 - корни характеристического уравнения.
      А1, А2 - постоянные интегрирования, определяются с помощью начальных условий.
      Начальные условия - это переходные токи и напряжения в момент коммутации, в момент времени t, равный нулю.
      Начальные условия могут быть независимыми или зависимыми.
      Независимыми называют начальные условия, подчиняющиеся законам коммутации, законам постепенного, непрерывного изменения. Это напряжение на емкости uc(0) и ток в ветви с индуктивностью iL(0) в момент коммутации.
      Остальные начальные условия: напряжение и ток в ветви с сопротивлением uR(0)   и    iR(0), напряжение на индуктивности uL(0) , ток в ветви с емкостью iC(0) - это зависимые начальные условия. Они не подчиняются законам коммутации и могут изменяться скачком.

8.2. Переходные процессы в цепях
с одним реактивным элементом


        Короткое замыкание в R-L цепи

       На рис. 8.1 изображена электрическая цепь, в которой включен источник постоянной ЭДС. В результате коммутации рубильник замыкается и образуется замкнутый на себя R-L контур.

       До коммутации по индуктивности протекал ток

                   
       Этот ток создавал постоянное магнитное поле в индуктивной катушке.

                   Рис. 8.1

        Определим закон изменения тока в индуктивности после коммутации.
        В соответствии с классическим методом

        Принужденный ток после коммутации замыкается через рубильник, имеющий нулевое сопротивление, и через индуктивность не протекает. Индуктивный ток имеет только свободную составляющую

        Магнитное поле, исчезая, индуктирует в индуктивной катушке ЭДС самоиндукции. Свободный ток в R-C контуре существует за счет этой электродвижущей силы.
        Запишем уравнение для свободного тока в R-L контуре, используя второй закон Кирхгофа.

                  (8.1)

       Ищем решение этого уравнения в виде экспоненты

.

       Производная

.

       Подставим значения свободного тока и производной тока в уравнение (8.1)

     (8.2)

       Уравнение (8.2), полученное из уравнения (8.1), называется характеристическим.

        - корень характеристического уравнения.

        - постоянная времени переходного процесса, измеряется в секундах.
       Постоянная времени τ - это интервал времени, за который переходный ток уменьшается в   e раз.

.

       Постоянную интегрирования А определяем с помощью начального условия.

       В соответствии с первым законом коммутации,

.

       Получим    

       Напряжение на индуктивности .

       На рис. 8.2 изображены кривые переходного тока в ветви с индуктивностью и переходного напряжения на индуктивности. Переходный ток и напряжение по экспоненте стремятся к нулю.        В инженерных расчетах полагают, что через интервал времени, равный (4 ÷ 5)τ, переходный процесс заканчивается.



           Рис. 8.2



        Подключение R-L цепи к источнику постоянной ЭДС

       В схеме на рис. 8.3 до коммутации рубильник разомкнут. В результате коммутации рубильник замыкается и подключает R-L цепь к источнику постоянной ЭДС. Определим закон изменения тока i(t).

.

       Принужденный ток в установившемся режиме после коммутации

.

       В свободном режиме из схемы исключен внешний источник питания. Схема на рис. 8.3 без источника ЭДС ничем не отличается от схемы на рис. 8.1.

     Свободный ток определяется по формуле
     .
     Запишем значение переходного тока для момента
     коммутации, (t = 0).  ,
     откуда .

                 Рис. 8.3

       До коммутации рубильник был разомкнут, и ток в схеме отсутствовал.
       Сразу после коммутации ток в индуктивности остается равным нулю.

.

.

.

       Напряжение на индуктивности

.

     На рис. 8.4 изображены кривые переходного, принужденного, свободного токов и переходного напряжения на индуктивности.

     Свободный ток и напряжение на индуктивности плавно уменьшаются до нуля. В момент коммутации свободный и принужденный токи одинаковы по абсолютной величине.
     Переходный ток начинается при включении с нуля, затем возрастает, приближаясь к установившемуся постоянному значению.



                 Рис. 8.4



        Короткое замыкание в R-C цепи

     В схеме на рис. 8.5 в результате коммутации рубильник замыкается, и образуется замкнутый на себя R-C контур.
       До коммутации емкость полностью зарядилась до напряжения, равного ЭДС источника питания, то есть uc(0-) = E. После коммутации емкость полностью разряжается, следовательно, принужденный ток в R-C цепи и принужденное напряжение на конденсаторе равны нулю.

     В цепи существует только свободный ток за счет напряжения заряженного конденсатора.
     Запишем для R-C контура уравнение по второму закону Кирхгофа
                  .

                 Рис. 8.5

     Ток через конденсатор       .

     Получим дифференциальное уравнение

.              (8.3)

     Решение этого уравнения   .

     Подставим значение свободного напряжения и производной от напряжения

       в уравнение (8.3).

.

     Уравнение называется характеристическим.

      - корень характеристического уравнения;

      - постоянная времени переходного процесса;

     

     

     

     

     

     Переходный ток и переходное напряжение на конденсаторе по показательному закону уменьшаются до нуля (рис. 8.6).






                 Рис. 8.6


        Подключение R-C цепи к источнику постоянной ЭДС

       Полагаем, что до коммутации конденсатор не заряжен, напряжение на нем uc(0-) = 0.
      В результате коммутации рубильник замыкается, и конденсатор полностью заряжается (рис. 8.7).
       Принужденное напряжение на емкости равно ЭДС источника питания ucпр= E.

       Переходное напряжение

.

       В момент коммутации .

     Постоянная интегрирования      .

     В соответствии со вторым законом коммутации

     .      .
                 Рис. 8.7

       Переходное напряжение

.

       Переходный ток

.

     Кривые напряжений и тока изображены на рис. 8.8.





                 Рис. 8.8

Устройство электрической машины постоянного тока Электрическая машина постоянного тока состоит из двух основных частей: неподвижной части ( индуктора) и вращающейся части ( якоря с барабанной обмоткой). На рис. 11.1 изображена конструктивная схема машины постоянного тока Индуктор состоит из станины 1 цилиндрической формы, изготовленной из ферромагнитного материала, и полюсов с обмоткой возбуждения 2, закрепленных на станине. Обмотка возбуждения создает основной магнитный поток.