В тех случаях, когда требуется учесть процессы в электрическом и магнитном поле электрическая цепь содержит реактивные элементы обоих типов. Простейшим вариантом такой цепи является последовательное соединение R-L-C (рис. 1).

Уравнение Кирхгофа для этой цепи после замыкания ключа S

(1)

Возьмем производную по времени от обеих частей уравнения

.

(2)

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (2) можно получить заменой производных по времени на pk Задание. Трехфазные цепи, нелинейные магнитные и электрические цепи

,

(3)

где - величина, названная при рассмотрении явления резонанса в этой цепи затуханием; - волновое сопротивление цепи, а - угловая частота, на которой в цепи рис. 1 возникает резонанс.

Корнями этого характеристического уравнения являются

.

(4)

Таким образом, корни характеристического уравнения являются функцией затухания d и резонансной частоты w0, значения которых, в свою очередь, определяются параметрами цепи R, L и C. Резистивное сопротивление R входит только в выражение для затухания и при вариации R резонансная частота будет сохраняться постоянной. Поэтому при анализе корней затухание можно считать независимой переменной, а резонансную частоту константой, т.к. эти условия можно реализовать изменением R.

Из выражения (4) следует, что корни могут быть вещественными отрицательными, если dі 2, или комплексно-сопряженными, если d< 2. Для первого случая их можно представить в виде

(5)

где , а для второго в виде

,

(6)

где s=-d /2 и . Безразмерные величины s и v можно назвать относительным затуханием и относительной частотой, т.к. они связаны с абсолютными значениями этих величин через резонансную частоту w0.

Если затухание цепиdі 2, то оба корня отрицательные вещественные различные (кроме предельного случая d =2) и свободные составляющие всех величин в переходном процессе будут суммой двух экспонент с различными показателями. Значения тока и напряжений со временем не будут регулярно повторяться, поэтому такой переходный процесс называется апериодическим. Так как p1,2 < 0, то обе экспоненты будут со временем уменьшаться до нуля со скоростью, определяемой постоянной времени каждой из них t1,2 = 1/| p1,2 | = 1/(w0|h1,2|). Таким образом, чем больше абсолютное значение h , тем быстрее закончится переходный процесс. Для двух экспонент длительность процесса будет определяться меньшим абсолютным значением h . Из рис. 2 следует, что при увеличении затухания d значения h1 и h2 расходятся, причем при d(r)µh1(r) 0 и длительность переходного процесса становится бесконечной. Одновременно h1 и h2 достигают наибольших возможных абсолютных значений в предельном режиме, когда d=2. Следовательно, этот режим будет соответствовать минимальной длительности переходного процесса в цепи.

При затухании0 < d < 2 корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью. В этом случае свободная составляющая решения дифференциального уравнения также будет суммой двух экспонент, но эти экспоненты могут быть объединены и решение получено в виде

a(t) = Aestsin(vt+n )

Эта функция представляет собой синусоиду с изменяющейся во времени амплитудой. Всякая синусоидальная функция соответствует колебаниям величины относительно среднего значения, поэтому переходный процесс в цепи называется колебательным. Вещественная часть корней характеристического уравнения s определяет скорость изменения амплитуды, а мнимая v , частоту колебаний. Следовательно, длительность переходного процесса будет зависеть только отs= -d /2. Так как s < 0, то со временем амплитуда колебаний свободной составляющей будет уменьшаться. При уменьшении затухания d абсолютное значение s также уменьшается, что соответствует увеличению длительности переходного процесса. Максимального абсолютного значения равного s = h1 = h2 = - 1 (рис. 2) s достигает в предельном режиме при d(r) 2, подтверждая сделанное ранее утверждение, что в этом режиме длительность переходного процесса минимальна.

Для оценки скорости изменения свободных составляющих в колебательном переходном процессе можно сравнить между собой два значения, отстоящих друг от друга на время равное периоду колебаний

.

Величина D называется декрементом колебаний. На практике чаще применяют натуральный логарифм D называемый логарифмическим декрементом колебаний

.

Как и следовало ожидать, скорость изменения свободных составляющих в колебательном переходном процессе зависит только от затухания электрической цепи.

Частота колебаний свободных составляющих тока и напряжений при изменении затухания также изменяется. При увеличении затухания она стремится к нулю (рис. 2), а при уменьшении к резонансной частоте цепи. При отсутствии затухания в цепи будет протекать переменный синусоидальный ток с частотой w0.


 

Рассмотрим теперь процесс подключения цепи рис. 1 к источнику постоянной ЭДС E. Емкость C при этом может быть полностью разряжена или заряжена до напряжения U0 , которое с помощью коэффициента -µ < c < +µ можно представить через ЭДС источника в виде U0 = cE. При c < 1 ток в цепи после замыкания ключа будет протекать в направлении показанном сплошной стрелкой.

Установившееся значение тока в цепи будет равно нулю, а установившееся значение напряжения на емкости - ЭДС E. В общем случае напряжение на емкости при переходном процессе равно

,

а ток в цепи

Постоянные интегрирования A1 и A2 нужно определить из начальных значений тока и напряжения на емкости в момент коммутации, пользуясь тем, что

uC(0-) = U0 = cE = uC(0+) = E + A1 + A2 и

i(0-) = 0 = i(0+) = C(p1A1 + p2A2) .

Отсюда A1 = E(1-c)p2/( p1-p2) и A2 = -E(1-c)p1/( p1-p2) . Подставляя полученные значения в выражения для напряжения на емкости и тока получим

(7)

(8)

 

Если в выражения (7) и (8) подставить корни характеристического уравнения из выражения (5), то для апериодического процесса напряжение на емкости и ток в цепи будут

(9)

(10)

На рис. 3 а) приведены эти кривые при относительном начальном значении напряжения на емкостиc = 0.5. В качестве базовых значений для напряжения принята ЭДС E, а для тока E(1-c)/[Lw0(h1-h 2)]. Для тока также построены быстро и медленно затухающие составляющие экспоненты is и il (i =is+il).

Выражения (7) и (8) получены без введения каких-либо ограничений на корни характеристического уравнения. Поэтому для нахождения решения при колебательном процессе (d <2) можно подставить корни из выражения (6), а затем преобразовать полученнуюсумму экспонент с комплексными показателями по формуле Эйлера. В результате мы получим выражения для напряжения на емкости и тока в цепи в виде

;

(11)

,

(12)

гдеy = arctg(v /s ) = arctg(2p /J ) .

На рис. 3 б) приведены кривыеколебательного переходного процессапри том же относительном начальном значениинапряжения на емкостиc, что и при апериодическом процессе (они построены на рисунке пунктиром).

В цепях переменного тока, также как в цепях постоянного, должны действовать источники электрической энергии. Отличие этих источников заключается лишь в том, что создаваемые ими ЭДС или токи являются синусоидальными функциями времени.

Источники делятся на идеальные и реальные. У идеальных источников отсутствует внутреннее сопротивление или проводимость. Создаваемые ими ЭДС или ток определяются только параметрами источника. В электрической цепи с идеальными источниками величина тока через источник ЭДС или напряжение на источнике тока определяются нагрузкой.